Параллельное перенесение

Параллельное перенесениеизоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения \eta:E\to B, определяемый некоторой заданной связностью на E. В частности, линейный изоморфизм касательных пространств Tγ(0)(M) и Tγ(1)(M), определяемый вдоль кривой \gamma\in M некоторой заданной на M аффинной связностью.

Параллельное перенесение по афинной связности

Пусть на гладком многообразии M задана аффинная связность. Говорят, что вектор X_1\in T_{\gamma(1)}(M) получен параллельным перенесением из вектора X_0\in T_{\gamma(0)}(M) вдоль гладкой кривой без самопересечений \gamma:[0,1]\to M, если на γa существует гладкое векторное ноле X, соедипяющее X0 и X1, такое, что \nabla_{\dot\gamma(t)}X=0, где \nabla ковариантная производная, а \dot\gamma(t) вектор скорости γ.

Из линейности этой системы следует, что параллельный перенос вдоль γ, определяет некоторый изоморфизм между Tγ(0)(M) и Tγ(1)(M).

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её гладких кусков.

На основе параллельного переноса вектора определяется параллельный перенос ковектора и, вообще, тензора.

Связанные определения

  • Группа голономии — группа Φx автоморфизмов касательного пространства TxM, определяемая параллельными переносом вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия Φx и Φy всегда сопряжены между собой.

История

Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Ф. Миндинг (F. Minding, 1837) указал возможность обобщить её на случай поверхности в \R^3 с помощью введенного им понятия развертывания кривой \gamma\in S на плоскость \R^2. Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивита (Levi-Civita), который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай n-мерного риманова пространства (см. связность Леви-Чивита). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home