Критерий устойчивости Рауса

Критерий устойчивости Рауса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса-Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести ненаглядность метода, по нему сложно судить о степени устойчивости, о её запасах.

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)}передаточная функция системы, а \ U(s) = 0 — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином \ U(s) в виде

\ U(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которой записываются коэффициенты характеристического полинома таким образом, что:

  1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания
  2. во второй строке — с нечётными
  3. остальные элементы таблицы определяется по формуле: \ c_{k,i} = c_{k+1,i-2} - ri \cdot c_{k+1,i-1}, где ri = \frac{c_{1,i-2}} {c_{1,i-1}}, i \ge 3 — номер строки, \ k — номер столбца
  4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения

Таблица Рауса:

\ ri \Downarrow i \Longrightarrow k 1 2 3 4
- 1 \ c_{1,1} = a_0 \ c_{2,1} = a_2 \ c_{3,1} = a_4 ...
- 2 \ c_{1,2} = a_1 \ c_{2,2} = a_3 \ c_{3,2} = a_5 ...
r_3 = \frac{c_{1,1}} {c_{1,2}} 3 c_{1,3} = c_{2,1} - r_3 \cdot c_{2,2} c_{2,3} = c_{3,1} - r_3 \cdot c_{3,2} c_{3,3} = c_{4,1} - r_3 \cdot c_{4,2} ...
r_4 = \frac{c_{1,2}} {c_{1,3}} 4 c_{1,4} = c_{2,2} - r_4 \cdot c_{2,3} c_{1,4} = c_{3,2} - r_4 \cdot c_{3,3} c_{1,4} = c_{4,2} - r_4 \cdot c_{4,3} ...
... ... ... ... ... ...

Формулировка критерия Рауса:

Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса \ c_{1,1}, c_{1,2}, c_{1,3},...были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива.


См. также


 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home