Среднее Колмогорова

Средние Колмогорова для действительных чисел x_1,\ldots,x_n — величины вида

(*) \ \ M(x_1,\ldots,x_n) = \varphi^{-1} \left( \frac{ \varphi (x_1)+ \cdots +\varphi (x_n) }{n}\right)

где \varphi — непрерывная строго монотонная функция, а \varphi^{-1} — функция, обратная к \varphi. При \varphi(x)=x получают среднее арифметическое, при \varphi(x) = \log xсреднее геометрическое, при \varphi(x) = x^{-1}среднее гармоническое, при \varphi(x) = x^2 — среднее квадратическое, при \varphi(x) = x^\alpha, \ \alpha \not= 0 — среднее степенное.

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал (см. [1]), что любая средняя величина — функция M(x_1,\ldots,x_n), являющаяся:

  • непрерывной,
  • монотонной по каждому xi, i=1,\ldots,n,
  • симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)
  • среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,
  • некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,

— имеет вид ( * ).

Литература

  • [1] Колмогоров А. Н. (1985) Математика и механика, М. — С.136-138.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home