Теория чисел

Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, изучающий натуральные числа и сходные объекты. В зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько подтеорий.

Содержание

Элементарная теория чисел

В элементарной теории чисел, целые чи́сла изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя, разложение числа́ на простые множители, совершенные чи́сла, малая теорема Ферма́, теорема Эйлера относятся к этому разделу.

Аналитическая теория чисел

В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа. Большую роль в аналитической теории чисел играет метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах. Основы метода тригонометрических сумм разработал и впервые применил к задачам теории чисел И.М. Виноградов.

Наиболее известной и до сих пор не решенной проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения \zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=0 (s\in\mathbb{C}) лежат на прямой \mathrm{Re}\,s = \frac{1}{2}.

Алгебраическая теория чисел

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни многочленов с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется закон единственности разложения на простые множители. Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета и L-функции, когомологии групп и многое другое. Одним из основных приемов является вложение поля алгебраических чисел в свое пополнение по одной из метрик — архимедово, то есть вложение в поле вещественных или комплексных чисел, или неархимедово, то есть вложение в поле p-адических чисел.

Ссылки

  • К. Айерлэнд, М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел. Москва, "Мир", 1987.
  • З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич Теория чисел. Москва, "Наука", 1972.
  • А. Я. Хинчин Три жемчужины теории чисел. Москва, "Наука", 1979.
 

Видео:

Рассказы о теории чисел, лекция 1 | Александр Смирнов | СПбГУ | Лекториум
Рассказы о теории чисел, лекция 1, Курс: Рассказы о теории чисел, алгебраической геометрии и гомотопической...
Рассказы о теории чисел, лекция 2 | Александр Смирнов | СПбГУ | Лекториум
Рассказы о теории чисел, лекция 2, Курс: Рассказы о теории чисел, алгебраической геометрии и гомотопической...
I урок по теории чисел: основные понятия и определения.
Первый урок по теории чисел для начинающих. Как теория чисел помогает нам в реальной жизни? Применение теор...
Science show. Выпуск 1. Теория чисел и нумерология
Макар Светлый ВКонтакте - http://vk.com/id182122590 Используемые фильмы: Игры разума; Математик и черт; Пи; История един...
Теория чисел
Передача "Собеседники". Эфир 29.06.2014. Гость передачи Илья Шкредов, доктор физико-математических наук, математ...
Математика. Теория чисел. Проблема упаковки шаров Кеплера. 31 выпуск
Нерешённые проблемы в алгебре: теория чисел (совершенных, простых). Нерешённые проблемы в геометрии: упаков...
Онлайн решение задач С6 ЕГЭ по математике на теорию чисел Делимость и остатки
Решение задач по математике. http://youtu.be/edhgdARBS8s Решение диофантова диафантового уравнения из теста ЕГЭ 2014...
лекция 1 | Путешествие по современным областям анализа и теории чисел | Harald Helfgott | Лекториум
Путешествие по современным областям анализа и теории чисел, лекция 1, Курс: Путешествие по современным обла...
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home