Уравнения Эйлера — Лагранжа

Уравнения Эйлера — Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления. С их помощью можно найти функции, на которых заданый функционал достигает экстремума. Эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия, используются для вычисления траекторий. Уравнение в некотором смысле сходно с теоремой дифференциального исчисления, утверждающей, что в точке, где первая производная функции обращается в нуль, функция достигает экстремума.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луисом Лагранжем в 1750-х годах.

Содержание

Утверждение

Пусть задан функционал F(x,f(x),f'(x)) с непрерывными первыми частными производными и некоторая функция f, на которой функционал достигает экстремума

J = \int_a^b F(x, f(x), f'(x)) dx.

Тогда для функции f должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,

которое и называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты (a,c) и (b,d). Тогда длина пути y(x), соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

L = \int_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2}dx.

Уравнение Эйлера — Ланранжа для этого функционала принимает вид:

\frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0,

откуда получаем, что

\frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D.

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что y(a) = c, y(b) = d, т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа. Если q — путь в n-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

J = \int_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt

только если удовлетворяет условию

\frac{d}{dt} \frac{dL}{dq'_k} - \frac{dL}{dq_k} = 0 \forall k = 1, 2, \dots n

Эта формулировка особенно полезна, когда L является лагранжианом, поскольку результирующие уравнения — уравнения движения.

Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции n переменных. Если Ω — какая-либо поверхность, то

J = \int_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n}) d\Omega

доставляет экстремум если только f удовлетворяет уравнению в частных производных

\frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0.

Если n = 2 и L — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления, (термин придумал Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию f, которая удовлетворяет граничным условиям f(a) = c, f(b) = d и доставляет экстремум функционалу

J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.

Предположим, что F имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если f даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение f, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение J (если f минимизирует его) или уменьшать J (если f максимизирует).

Пусть η(x) — дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию η(a) = η(b) = 0. Определим

J(\epsilon) = \int_a^b F(x,f(x) + \epsilon \eta(x), f'(x) + \epsilon \eta'(x))\, dx.

Поскольку f даёт экстремум для J(0), то J'(0) = 0, то есть

J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.

Используя граничные условия на η, получим

0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.

Отсюда, с учётом основной леммы вариационного исчисления, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}.

Внешние ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home