Бета-функция

В математике бета-функцией (β-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

\mathrm{\Beta}(x,y) = \int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \!,

определённая при Re(x), Re(y) > 0.

Бета-функция была изучена Эйлером и Лежандром, а название ей дал Жак Бине.

Содержание

Свойства

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, т. е.

\mathrm{\Beta}(x,y) = \mathrm{\Beta}(y,x). \!

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

\mathrm{\Beta}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \!,

где Γ(x)Гамма-функция Эйлера;

\mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0 \!;
\mathrm{\Beta}(x,y) = \int\limits_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0 \!;
\mathrm{\Beta}(x,y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)} \!,

где (x)nнисходящий факториал, равный x(x − 1)(x − 2)...(xn + 1).

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

\mathrm{C}_n^k = \frac1{(n+1) \mathrm{B}(n-k+1, k+1)}.

Производные

Частные производные у бета-функции следующие:

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),

где ψ(x) — дигамма-функция.

Неполная бета-функция

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее определённый интеграл неопределённым:

\mathrm{B}_x(a,b) = \int\limits_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt \!.

При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

I_x(a,b) = \frac{\mathrm{B}_x(a,b)}{\mathrm{B}(a,b)} \!

Свойства I(x)

I_0(a,b) = 0 \,
I_1(a,b) = 1 \,
I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,

Применение

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена Габриэле Венециано в 1968 году. В 1970 году Йохиро Намбу, Холгер Бен Нильсен и Леонард Сасскинд сумели выявить физический смысл, скрывавшийся за бета-функцией. Это положило начало теории струн.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home