Теорема Гаусса

Теорема Гаусса — основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей.

Содержание

Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля (электростатическая теорема Гаусса)

Поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых в этой поверхности электрических зарядов, делённой на электрическую постоянная ε0 :

\Phi_E = {1 \over \varepsilon_0} \sum_{i=1}^N q_i.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме. В дифференциальной форме теорема Гаусса выражается следующим образом:

\nabla\vec{E} = {1 \over \varepsilon_0} \rho,

где ρ — объёмная плотность заряда

\rho = {dq \over dV}.

Теорема Гаусса выражает связь между потоком напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объеме, ограниченной этой поверхностью. Физической основой теоремы Гаусса является закон Кулона или, иначе, теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона.

Теорема Гаусса для электрического смещения

Электростатическую теорему Гаусса можно записать в другом виде — через поток вектора электрического смещения. При этом формулировка теоремы может быть представлена, как поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённой в этой поверхности зарядов:

\Phi_D = \sum_{i=1}^N q_i .

Теорема Гаусса для магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

\Phi_B = \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = 0

Это означает, что в природе не существует магнитных зарядов (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле.

Применение теоремы Гаусса

Для вычисления электромагнитных полей используются следующие величины:

  • Объёмная плотность заряда (см. выше).
  • Поверхностная плотность заряда
\sigma = { dq \over dS},

где dS — бесконечно малый участок поверхности.

  • Линейная плотность заряда
\lambda = {dq \over dl},

где dl — длина бесконечно малого отрезка.

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородной заряженной плоскостью. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости одинакова и равна σ. Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основанием ΔS, расположенным относительно плоскости симметрично. В силу симметрии E' = E'' = E. Поток вектора напряжённости равен 2EΔS. Применив теорему Гаусса, получим:

2E\Delta S = {\sigma\Delta S \over \Epsilon_0 },

из которого

E = { \sigma \over 2\Epsilon_0}

См. также

Литература

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с., ил. и более поздние издания.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home