Матрица вращения

Предлагается объединить эту статью с Матрица поворота. (Обсудить)

Матрицей вращения в математике называют матрицу, которая описывает вращение в евклидовом пространстве. Вращаться может как объект (напр. некоторое тело), так и сама система координат.

Вращение на плоскости R²

Вращение объекта на евклидовой плоскости вокруг начала координат на угол α против часовой стрелки описывается матрицей

R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}.

Само вращение происходит путём умножения вектора (описывающего вращаемую точку) на матрицу:

\vec p' = R\cdot \vec p.

Вращение в пространстве R³

Матрицами вращения вокруг начала координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

  • Вращение вокруг оси x:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix},
  • Вращение вокруг оси y:
\begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix},
  • Вращение вокруг оси z:
\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

Матрицы могут использоваться как для право- так и для лево-симметричных систем. Вращения с положительным углом в правосторонней системе происходят в направлении против часовой стрелки. В левосторонних системах положительный угол означает вращение по часовой стрелке.

\begin{pmatrix} \cos \alpha +v_1^2 \left(1-\cos \alpha\right) & v_1 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) - v_3 \sin \alpha & v_1 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) + v_2 \sin \alpha \\ v_2 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) + v_3 \sin \alpha & \cos \alpha + v_2^2\left(1-\cos \alpha\right) & v_2 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) - v_1 \sin \alpha \\ v_3 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) - v_2 \sin \alpha & v_3 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) + v_1 \sin \alpha & \cos \alpha + v_3^2\left(1-\cos \alpha\right) \end{pmatrix}.

Свойства матрицы вращения

Свойства матрицы вращения R \in \mathbb{R}^{n\times n}:

  • detR = 1 (Определитель)
  • RT = R − 1 (R транспонированная = R инвертированной)
  • RTR = RRT = I (ортогональная матрица)
  • Направленность системы координат (правосторонняя или левосторонняя) сохраняется.
  • Осью вращения \vec v является решение следующего уравнения:
(R-I) \vec v = \vec 0.

Так как матрица (RI) является вырожденной, то определение оси вращения следует проводить через поиск собственных значений. Осью \vec v является собственный вектор R соответствующий собственному числу, равному 1.

  • Угол вращения α определяется через скалярное произведение:
\quad \langle\vec w, R\vec w\rangle =\|\vec w\| \|R\vec w\| \cos \alpha,

где \vec w — вектор, перпендикулярный \vec v,

либо же из следа матрицы вращения

\operatorname{Tr}(R) = 1 + 2 \cos\alpha.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home