Лагранжева механика

Лагранжева механика является переформулировкой классической механики введённой Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действиеинтеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Это значительно упрощает множество физических задач. Например, рассмотрим бусинку на обруче. Если вычислять движение используя механику Ньютона, то нужно записать сложный набор уравнений, которые примут во внимание силы, которые действуют на обруч со стороны бусинки в каждый момент времени. С использованием лагранжевой механики решение той же самой проблемы становится намного проще. Нужно рассмотреть все возможные движения, что бусинка может совершить на обруче, и математически найти то, которое минимизирует действие. Здесь меньше уравнений, так как не надо непосредственно вычислять влияние обруча на бусинку в данный момент.

Содержание

Уравнения Лагранжа

Уравнения движения в лагранжевой механике — уравнения Лагранжа, также известные как уравнения Эйлера-Лагранжа. Ниже, мы рассмотрим схематический вывод уравнения Лагранжа из законов движения Ньютона. Смотрите ссылки для более детальных и более общих выводов.

Рассмотрим единственную частицу с массой m и положением r. Приложенная сила, F, может быть выражена как градиент скалярной функции потенциальной энергии V (r, t):

\mathbf{F} = - \nabla V.

Такая сила независима от производных r третьего и выше порядка, таким образом второй закон Ньютона формируют 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Поэтому движение частицы может быть полностью описано 6-ю независимыми переменными, или степенями свободы. Очевидный набор переменных - { rj, rj | j = 1, 2, 3}, декартовы компоненты r и их производные по времени, в данный момент времени (то есть положение (x, y, z) и скорость (vx,vy,vz ) ).

Более обще, мы можем работать с обобщёнными координатами, qj, и их производными, обобщёнными скоростями, qj. Вектор положения, r, связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:

\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i , q_j , q_k, t).

Например, для математического маятника длиной l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования запишутся

\mathbf{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta).

Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.

Рассмотрим произвольное смещение δr частицы. Работа совершаемая приложенной силой F является δW = F · δr. Используя второй закон Ньютона, запишем:

\begin{matrix} \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} & = & m\mathbf{r}'' \cdot \delta \mathbf{r}. \end{matrix}

Поскольку работа это скаляр, мы можем переписать это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С левой стороны равенства,

\begin{matrix} \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} & = & - \nabla V \cdot \sum_i {\partial \mathbf{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\ & = & - \sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\ & = & - \sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\ \end{matrix}

Правая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:

m \mathbf{r''} \cdot \delta \mathbf{r} = \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i

где T = 1/2 m r′ 2 — кинетическая энергия частицы. И наше уравнение для работы запишется в виде

\sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] \delta q_i = 0.

Однако, это выражение должно быть верно для любых изменений δqi, тогда мы имеем

\left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0

для каждой обобщённой координаты δqi. Можно и дальше упростить это выражение, если заметить, что V — функция только r и t, и r — функция обобщённых координат и t. Тогда V не зависит от обобщённых скоростей:

{d\over dt}{\partial{V}\over \partial{q'_i}} = 0.

Вставляя это в предыдущее уравнение и заменяя L = T - V, получим уравнения Лагранжа:

{\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{q'_i}}.

Для каждой обобщённой координаты q i есть одно уравнение Лагранжа. Когда q i = ri (то есть обобщённые координаты - просто декартовы координаты), можно легко проверить, что уравнения Лагранжа сводятся ко второму закону Ньютона.

Вышеприведённый вывод может быть обобщён на систему из N частиц. Тогда будет 6N обобщённых координат, связанных с координатами положения 3N уравнениями преобразования. В каждом из 3N уравнений Лагранжа, T - полная кинетическая энергия системы, и V полная потенциальная энергия.

Практически, часто легче решить проблему, используя уравнения Эйлера-Лагранжа, а не законы Ньютона, потому что соответствующие обобщённые координаты qi могу быть выбраны с учётом симметрий задачи.

Принцип Гамильтона

Действие обозначается S — интеграл по времени от лагранжиана:

S = \int L\,dt.

Пусть q0 и q1 — координаты соответственно начальной и конечной точки в моменты времени t0 и t1. Используя вариационное исчисление, можно показать, что уравнения Лагранжа эквивалентны принципу Гамильтона:

Траектория движения системы между моментами времени t0 и t1 такова, чтобы действие было стационарным.

Под стационарностью, мы подразумеваем, что действие не меняется в первом порядке малости при бесконечно малом изменении траектории, с закреплёнными начальной (q0, t0) и конечной (q1,t1) точками. Принцип Гамильтона запишется:

\delta S = 0. \,\!

Таким образом, вместо того, чтобы думать о частицах, ускоряющихся в ответ на приложенные силы, можно было думать о них как о частицах, "выбирающих" траекторию с постоянным действием.

Принцип Гамильтона иногда упоминается под термином принцип наименьшего действия. Однако, это неправильное употребление: достаточно, чтобы действие было постоянным, и правильная траектория может быть как при максимальном действии так и при минимальном (возможен случай седловой точки).

Расширения лагранжевой механики

Гамильтониан, обозначаемый H, получается при выполнении преобразований Лежандра над функцией Лагранжа. Гамильтониан - основание для альтернативной формулировки классической механики, известной как гамильтонова механика. Эта величина особенно распространена в квантовой механике (см. гамильтониан (квантовая механика)).

В 1948 году Фейнман изобрёл формулировку с привлечением интегралов по траекториям и распространил принцип наименьшего действия на квантовую механику. В этой формулировке, частицы путешествуют по всем возможным траекториям между начальным и конечным состояниями; вероятность определённого конечного состояния вычисляется суммированием (интегрированием) по всем возможным траекториям, приводящим к нему. В классическом случае, формулировка интеграла по траекториям полностью воспроизводит принцип Гамильтона.

Смотрите также

Ссылки

  • Goldstein, H. Classical Mechanics, second edition, pp.16 (Addison-Wesley, 1980)
  • Moon, F. C. Applied Dynamics With Applications to Multibody and Mechatronic Systems, pp. 103-168 (Wiley, 1998).

Внешние ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home