Абстрактная алгебра

Абстра́ктная а́лгебра или вы́сшая а́лгебра — раздел математики, изучающий алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля, а также отображения между такими структурами.

Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от ненужных деталей и выделения аксиоматических определений они становились предметом изучения абстрактной алгебры. Именно поэтому абстрактная алгебра находит многочисленные применения в большинстве других областей математики.

Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются

полугруппы
моноиды
группы
квазигруппы

Все они возникли как результат обобщения свойств обычных операций умножения и сложения на числах.

Более сложные примерами алгебраических структур являются

кольца и поля
модули и векторные пространства
ассоциативные алгебры и алгебры Ли
решетки и булевы алгебры

Группы и отображения между ними, называемые гомоморфизмами, изучаются в теории групп. Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.

Общие для всех этих алгебраических систем свойства собираются и изучаются теорией категорий. Эта теория доставляет формальные средства для сравнения алгебраических структур и изучения соответствий между ними.

Некоторые важные понятия

группа
подгруппа
гомоморфизм
действие группы
прямое произведение групп
нормальная подгруппа
факторгруппа
центр группы
абелева группа
разрешимая группа
нильпотентная группа
кольцо
поле
идеал
алгебраическое расширение
характеристика поля
модуль над кольцом
векторное пространство
линейное отображение
тензорное произведение
циклическая группа
конечная группа
группа перестановок
решётка

См. также

Литература

  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. В 3 тт. М.:Физматлит, 2001 и т. д.
  • Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968
  • ван-дер Варден Б. Л.. Алгебра. М.: Наука, 1979
  • Винберг Э.Б. Курс алгебры.-М.:Факториал 2001, 544с.
  • Винберг Э.Б. Начала алгебры.-М.:МЦНМО, МК НМУ, УРСС 1998, 192с.
  • Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра Том 1.-М.:ИЛ 1963, 373с.
  • Зарисски О., Самюэль П. Коммутативная алгебра Том 2.-М.:ИЛ 1963, 438с.
  • Курош А.Г. Общая алгебра.-158с. djvu
  • Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре.-М.:Наука 1984, 416с.
  • Фейс К. Алгебра.Кольца, модули, категории Том 1.-М.:Мир 1977, 688с.
  • Фейс К. Алгебра.Кольца, модули, категории Том 2.-М.:Мир 1979, 464с.
  • Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.
  • Михалёв А.В., Михалёв A.A. Начала алгебры.-М.:Интернет-Ун-т Информ. Технологий, 2005. - 144 с.
  • Бурбаки Н. АЛГЕБРА. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра.-М., Физматгиз, 1962, 516с.
  • Бурбаки Н. Группы и Алгебры Ли. Группы Кокстера и Системы Титса. Группы, порождённые отображениями системы корней.-М., МИР, 1972.
  • Atiyah M.F., Macdonald I.G. Introduction to Commutative Algebra
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home