Гильбертово пространство

Ги́льбертово простра́нствополное нормированное векторное пространство со структурой скалярного произведения, порождающего норму.

Пространство названо в честь математика Д. Гильберта.

Справедливо следующее утверждение:

Любые два гильбертовых пространства одинаковой размерности изоморфны между собой. В частности, любые два сепарабельные гильбертовые пространства изоморфны и изопериметричны между собой и \ell^2 (теорема Рисса-Фишера).

Полное линейное нормированное пространство H может быть наделено скалярным произведением (так, чтобы оно порождало эту норму) тогда и только тогда когда в H имеет место тождество параллелограмма:

||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2), \quad \forall x,y\in H

Примеры

Примером гильбертова пространства является пространство \ell^2. Пространство состоит из бесконечных последовательностей действительных чисел

x = (x_1, x_2, ...)\,\!, таких что \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty,

со скалярным произведением

(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \bar y_n.

Другим примером является пространство L2 — пространство дважды интегрируемых по Лебегу функций, т. е. таких, что

\int |f(x)|^2 dx < \infty

со скалярным произведением

(f, g) = \int f(x) \overline{g(x)} dx.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home