Линейное пространство

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов 3-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.

Содержание

Определение

Линейное, или векторное пространство L \left( P \right) над полем P — это множество L, на котором введены операции

  1. сложения, то есть каждой паре элементов множества \mathbf{x}, \mathbf{y} \in L ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый \left( \mathbf{x} + \mathbf{y} \right) \in L и
  2. умножения на скаляр (т.е. элемент поля P), то есть любому элементу \lambda \in P и любому элементу \mathbf{x} \in L ставится в соответствии элемент из L \left( P \right), обозначаемый \left( \lambda x \right) \in L(P).

При этом удовлетворяются следующие условия:

  1. \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}\in L (коммутативность сложения);
  2. \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in L (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент \theta \in L, что \mathbf{x} + \theta = \mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in L (существование нейтрального элемента), в частности L не пусто;
  4. для любого \mathbf{x} \in L существует такой элемент -\mathbf{x} \in L, что \mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta (существование противоположного элемента).
  5. \alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x} (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. 1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}.
  7. (\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x} (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);
  8. \alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}(дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля Pскалярами.

Простейшие свойства

  1. Нейтральный элемент \theta \in L является единственным.
  2. 0\cdot\mathbf{x} = \theta для любого \mathbf{x} \in L.
  3. Для любого \mathbf{x} \in L противоположный элемент -\mathbf{x} \in L является единственным.
  4. (-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in L.
  5. (-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x}) для любых \alpha \in P и \mathbf{x} \in L.

Связанные определения и свойства

  • Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в E действиям сложения и умножения на скаляр.
  • Конечная сумма вида
\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n
называется линейной комбинацией элементов \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in L с коэффициентами \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in P.
  • Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • Элементы \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу \mathbf{0} \in L. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
    • Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
  • Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
  • Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор \mathbf{x} \in L можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n.

Примеры

Дополнительные структуры

См. также

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home