Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши́ о среднем значении утверждает, что

если функции f и g непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы в интервале (a;b), при этом g не обращается в ноль на [a;b], то на этом отрезке найдётся такая точка c, что
{g'(c)}({f(a)-f(b)})={f'(c)}({g(a)-g(b)}).\,\!

Геометрически это можно переформулировать так:

если f и g задают законы движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр t), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся вектор, коллинеарный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до (f(b);g(b)).

Доказательство

Для доказательства введём функцию

F(x) = f(x)-\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}(g(x)-g(a)).

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а \frac {f'(c)} {g'(c)} равна как раз необходимому числу.


Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home