Мультиномиальный коэффициент

Мультиномиальные коэффициенты — коэффициенты в разложении (x_1+x_2+\dots + x_m)^n по мономам x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}:

(x_1+x_2+\dots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1\ k_2\ \dots\ k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}.

Значение мультиномиального коэффициента {n\choose k_1\ k_2\ \dots\ k_m} определено для всех целых неотрицательных чисел n и k_1, k_2, \dots, k_m таких, что k_1+k_2+\dots+k_m=n:

{n\choose k_1\ k_2\ \dots\ k_m} = \frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}.

Биномиальный коэффициент {n\choose k} для неотрицательных n,k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

{n\choose k} = {n\choose k\ n-k}.

В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент {n\choose k_1\ k_2\ \dots\ k_m} равен числу разбиений n-элементного множества на m подмножеств мощностей k_1, k_2, \dots, k_m.

Свойства

\sum_{k_1+k_2+\dots+k_m=n} {n\choose k_1\ k_2\ \dots\ k_m} = m^n

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home