P-адическое число

Правильный заголовок этой статьи — p-адическое число. Он показан некорректно из-за технических ограничений.

p-ади́ческое число — элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р. Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно p-адической нормы.

p-адические числа были введены Куртом Гензелем (Kurt Hensel), первая публикация относится к 1897 году.

Поле p-адических чисел обычно обозначается \mathbb Q_p.

Содержание

Метрическое построение

p-адическая норма

Любое рациональное число r можно представить как r=p^n\frac ab где a и b целые чила не делящиеся на p, а n — целoe. Тогда | r | pp-адическая норма r — определяется как p n. Если r = 0, то | r | p = 0.

Построение

Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой dp определённой p-адической нормой: dp(x,y) = | xy | p. Это построение аналогично построению вещественных чисел как пополнение рациональных.

Норма | r | p продолжается по непрерывности до нормы на \mathbb Q_p.

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Целым p-адическим числом для произвольного простого p называется бесконечная последовательность x = {x1,x2,...} вычетов xn по модулю pn, удовлетворяющих условию x_n\equiv x_{n+1} \mod{p^n}. Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей.

Относительно сложения и умножения целые p-адические числа образуют кольцо, которое содержит кольцо целых чисел, каждое целое число a отождествляется с p-адическим числом x = {a,a,...}.

Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается \mathbb Z_p.

Другими словами, кольцо целых p-адических чисел определяется как проективный предел

\lim_{\leftarrow}\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z

колец \mathbb Z/{p^n}\mathbb Z вычетов по модулю pn относительно естественных проекций \mathbb Z/{p^{n+1}}\mathbb Z\to\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z.

p-адические числа

p-адическим числом, называется элемент поля частных \mathbb Q_p кольца \mathbb Z_p целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел и содержит в себе поле рациональных чисел.

Свойства

  • Каждый элемент поля p-адических чисел может быть представлен в виде
\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i
где n0 — некоторое целое число и ai целые неотрицательные числа не превосходящие p − 1. Такая сумма всегда сходится в метрике dp.
  • p-адическая норма | x | p удовлетворяет сильному неравенству треугольника
|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.
  • Числа x\in \mathbb Q_p с условием |x|_p\le 1 образуют кольцо \mathbb Z_p целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел \mathbb Z\subset \mathbb Q в норме | x | p.
  • Числа x\in \mathbb Q_p с условием | x | p = 1 образуют мультипликативную группу и называемую p-адическими единицами.
  • Совокупность чисел x\in \mathbb Q_p с условием | x | p < 1 является главным идеалом в \mathbb Z_p с образующим элементом p.
  • метрическое пространство (\mathbb Z_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству, а пространство (\mathbb Q_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
  • Для различных p нормы | x | p независимы, а поля \mathbb Q_p неизоморфны.
  • Для любых элементов r, r2, r3, r5, r7, …, таких что r_\infty\in \mathbb R и r_p\in \mathbb Q_p, можно найти последовательность рациональных чисел xn таких что для любого p, |x_i-r_p|_p\to 0 и |x_i-r_\infty|\to 0.

Применения

  • Если F(x1,x2,...,xn) — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения
F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0\mod p^k
эквивалентна разрешимости уравнения
F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0
в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p.

Литература

  • Hensel, K., Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, Jahresber. Deutsch. Math. Verein 6, 83-88, 1897. (Первая публикация о p-адических числах)
  • Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю., 2-адические числа. Квант, № 2, 1979.


Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home