Подгруппа

Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

  1. содержит произведение любых двух элементов из H,
  2. содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h − 1.

В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней.

Примеры

  • Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы G.
  • Сама G также является своей подгруппой.

Связанные определения

  • Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некотоpoй бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
  • Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные ― собственными.
  • Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается < M > .
  • Если M состоит из одного элемента a, то < a > называется циклической подгруппой элемента a.
  • Если группа G1 изоморфна некотоpoй подгруппе H группы G, то говорят, что группа G1 может быть вложена в группу G.

Свойства

  • Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы G является подгруппой группы G.
  • Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп H и K называется подгруппа, порожденная объединением множеств H\cup K.
  • Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
  • Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home