Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается \operatorname{D}X в русской литературе и \operatorname{var} X в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение \sigma_X^2 или \displaystyle \sigma^2. Квадратный корень из дисперсии \displaystyle \sigma называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

Содержание

Определение

Пусть \displaystyle X — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

\operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^2\right],

где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание.

Замечания

  • В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
\operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - \left(\mathbb{E}X\right)^2;

Свойства дисперсии

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: \operatorname{D}X \geq 0;
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: \operatorname{D}a = 0. Верно и обратное: если \operatorname{D}X = 0, то X = \mathbb{E}X п.н.
  • Пусть \displaystyle X_1,\ldots, X_n — случайные величины, а Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; a_i\in \mathbb{R} — их произвольная линейная комбинация. Тогда
\operatorname{D}Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + \sum\limits_{i\not = j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \operatorname{D} X_i + 2 \sum\limits_{i < j} a_i a_j \operatorname{cov}(X_i,X_j),

где \operatorname{cov}(X_i,X_j)ковариация случайных величин \displaystyle X_i,\, X_j.

В частности:

  • \operatorname{D}\left[ X_1 + \cdots + X_n\right] = \operatorname{D}X_1 + \cdots + \operatorname{D}X_n,

если \displaystyle X_1,\ldots , X_n независимы;

  • \operatorname{D} \left[aX\right] = a^2 \operatorname{D} X;
  • \operatorname{D}\left[-X\right] = \operatorname{D} X;
  • \operatorname{D}[X+b] = \operatorname{D}[X].

Пример

Пусть случайная величина \displaystyle X имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на \displaystyle [0,1], т. е. её плотность вероятности задана равенством

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end{matrix} \right.

Тогда

\mathbb{E}\left[X^2\right] = \int\limits_0^1 x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},

и

\mathbb{E}\left[X\right] = \int\limits_0^1 x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.

Тогда

\operatorname{D}X = \mathbb{E}\left[X^2\right] - (\mathbb{E}X)^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home