Сходимость почти всюду

Последовательность функций схо́дится почти́ всю́ду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, пренебрежительно мало.

Определение

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) суть пространство с мерой, и f_n, f:X \to \mathbb{R},\; n \in \mathbb{N}. Говорят, что {fn} сходится почти всюду, и пишут f_n \to f μ-п.в., если

\mu \left(\{x \in X \mid \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) \not= f(x)\}\right) = 0.

Терминология теории вероятностей

Если (X,\mathcal{F},\mu) = (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) суть вероятностное пространство, и Xn,Xслучайные величины, такие что

\mathbb{P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim\limits_{n \to \infty} X_n(\omega) \not= X(\omega)\}\right) = 0,

то говорят, что последовательность {Xn} схо́дится почти́ наве́рное к X.

Свойства сходимости п.в.

  • Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду (почти наверное).
  • Пусть f_n \in L^p(X,\mathcal{F},\mu)\; \forall n \in \mathbb{N}, где 1 \le p < \infty, и {fn} сходится почти всюду к f. Тогда f \in L^p(X,\mathcal{F},\mu), и f_n \to f в Lp. В частности, сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость в L1 (в среднем) и в L2 (в среднеквадратичном).
  • Сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость по мере (по вероятности).
  • Сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт слабую сходимость (сходимость по распределению).
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home