Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) и определённые на нём случайные величины X,X_n:\Omega \to \mathbb{R}^m,\,n =1,2,\ldots. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на \mathbb{R}^m, называемую её распределением.

Случайные величины Xn сходятся по распределению к случайной величине X, если распределения \mathbb{P}^{X_n} слабо сходятся к распределению \mathbb{P}^X, то есть

\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X_n}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X}(dx)

для любой ограниченной борелевской функции f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}.

Замечания

  • Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
\lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}f(X_n) = \mathbb{E}f(X).
  • Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению

F_X \in C(x) \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x).
\lim\limits_{n \to \infty} p_{X_n}(x) = p_X(x).
\lim\limits_{n\to \infty} f_{X_n}(x) \to f_X(x) почти всюду,

то X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X. Обратное, вообще говоря, неверно!

X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X \Rightarrow X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X.

Обратное, вообще говоря, неверно.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home