Модуль над кольцом

В абстрактной алгебере понятие модуля над кольцом является обобщением двух наиболее важных алгебраических понятий - векторного пространства (здесь в качестве кольца берется какое-то конкретное поле), и абелевой группы (где кольцо совпадает с кольцом целых чисел).

Понятие модуля лежит в основе коммутативной алгебры, которая играет важную роль в различных областях математики, таких как

Содержание

Определения

Пусть R\кольцо. Правым R\-модулем M_R\ называется абелева группа M\ с операцией умножения на элементы кольца R\

M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto mr,

которая удовлетворяет условиям дистрибутивности:

\forall m_1,m_2\in M,\,\forall r\in R\quad (m_1+m_2)r=m_1r+m_2r,
\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad m(r_1+r_2)=m r_1+m r_2.

Если кольцо R\ ассоциативно и обладает единицей, условия дистрибутивности дополняют следующими:

\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (mr_1)r_2=m(r_1r_2),
\forall m\in M\quad m1=m.

Аналогично определяется понятие левого модуля.

Связанные определения и свойства

  • Подмодулем модуля M_R\ называется подгруппа B\ группы M\, замкнутая относительно умножения на элементы из R\, т. е. такая, что
\forall b \in B,\ r \in R\ : br \in B.
  • Гомоморфизм или R-гомоморфизм R-модулей A и B называется гомоморфизм групп \phi: A \to B, для которого выполнено дополнительное условие \phi(ar) = (\phi a)r\ \forall a \in A, r \in R. Множество всех таких гомоморфизмов обозначают через Hom_R (A,\ B). На этом множестве можно ввести структуру абелевой группы, определяя 0, - и + равенствами
0a = 0,\ (-\phi)a = - (\phi a),\ (\phi + \psi)a = \phi a + \psi a.
  • Модуль называют артиновым (нетеровым), если каждая убывающая (возрастающая) последовательнось его подмодулей стабилизируется за конечное число шагов.

Примеры

  • Любое кольцо R является модулем над самим собой.
  • Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел.
  • Линейное пространство над полем F — модуль (как левый, так и правый) над F.
  • Линейное пространство V — модуль над кольцом всех своих линейных преобразований L(V)
  • Дифференциальные формы на гладком многообразии M снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на M.

История

Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, т.е. \Z-мoдули) появляются уже у Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие модуля встречается впервые в 60—80-х гг. 19 в. в работах Дедекинда и Кронекера, посвященных арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (В. Пирс, В. Peirce, Ф. Фробениус, F. Frobenius), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец. Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца. Лишь позднее в работах Э. Нётера (Е. Noether) и В. Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home