Градуированная алгебра

Пусть Aалгебра над кольцом k, Gполугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей Ag по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

A_f A_g \subset A_{fg}

Если ненулевой элемент a принадлежит Ag, то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Конструкции с градуировками

  • Если AG—градуированная алгебра, а \psi : G\to Hгомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H—градуировкой по правилу:
A_h=\oplus_{g\in G} \{A_g|\psi (g)=h\}
  • На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая Ae = A. Поэтому такие "бедные" градуировки рассматривать не имеет смысла.
  • С другой стороны, над полем \mathbb{C} любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:
G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi)a, для всякого \phi\in T(Aut_{k-alg}(A))\}

И эта градуировка, в вышеопределённом смысле,— "самая богатая" из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G—градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.


Примеры

  • Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
  • Кольцо когомологий
  • Алгебра матриц порядка n градуируется группой Z^{n-1}\!
  • Полугрупповая алгебра k\left[G\right] — является G—градуированной алгеброй

Литература

C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory,— North-Holland, Amsterdam,1982


 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home