Эллиптический фильтр

Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышёва
Эллиптический фильтр
Фильтр Бесселя
Фильтр Гаусса
Фильтр Лежандра

Эллиптичиский фильтр (Фильтр Кауэра) — электронный фильтр, характерной особенностью которого является пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.

Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышева I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышева II рода. Если же пульсации отсуствуют на все амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта.

Амплитудная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты ω и задаётся следующим выражением:

G_n(\omega) = {1 \over \sqrt{1 + \epsilon^2 R_n^2(\xi,\omega/\omega_0)}}

где Rn — рациональная эллиптическая функция nго порядка и

ω0 — частота среза
ε — показатель пульсаций (англ. ripple factor)
ξ — показатель селективности (англ. selectivity factor)

Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.


Содержание

Свойства

  • В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. Полоса пропускания таким образом варьируется от единицы до 1/\sqrt{1+\epsilon^2}.
  • В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения Ln, которое определяется как:
L_n=R_n(\xi,\xi)\,
Полоса подавления таким образом меняет значения от нуля до 1/\sqrt{1+\epsilon^2L_n^2}.
  • Так как фильтр Баттерворта является предельным случаем фильтра Чебышева, то при выполнении условий \xi \rightarrow \infty, \omega_0 \rightarrow 0 и \epsilon \rightarrow 0 так что \epsilon\,R_n(\xi,1/\omega_0)=1 эллиптический фильтр становится фильтром Баттерворта
  • Предельный случай \xi \rightarrow \infty, \epsilon \rightarrow 0 и \omega_0\rightarrow 0 так что ξω0 = 1 и εLn = α превращает эллиптический фильтр в фильтр Чебышева II рода с АЧХ
G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\alpha^2 T^2_n(1/\omega)}}}


Полюсы и нули

Нули модуля АЧХ совпадают с полюсами дробно-рациональной эллиптической функции.

Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же как и полюса фильтра Чебышева I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса pm) эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту s = σ + jω получим:

1+\epsilon^2R_n^2(-js,\xi)=0\,

Пусть js = cd(w,1 / ξ), где cd() — эллиптическая косинус-функция Якоби. Тогда используя определение эллиптической дробно-рациональной функции получим:

1+\epsilon^2\mathrm{cd}^2\left(\frac{nwK_n}{K},\frac{1}{L_n}\right)=0\,

где K = K(1 / ξ) and Kn = K(1 / Ln). Разрешив относительно w

w=\frac{K}{nK_n}\mathrm{cd}^{-1}\left(\frac{\pm j}{\epsilon},\frac{1}{L_n}\right)+\frac{mK}{n}

где значения обратной cd() функции сделаны явными при помощи целого индекса m.

Полюса эллиптической функции в таком случае:

s_{pm}=i\,\mathrm{cd}(w,1/\xi)\,

Как и в случае многочленов Чебышева это можно выразить в явной комплексной форме [1]

s_{pm}=\frac{a+jb}{c}
a=-\zeta_n\sqrt{1-\zeta_n^2}\sqrt{1-x_m^2}\sqrt{1-x_m^2/\xi^2}
b=x_m\sqrt{1-\zeta_n^2(1-1/\xi^2)}
c=1-\zeta_n^2+x_i^2\zeta_n^2/\xi^2

где ζn — функция от n,\,\epsilon, а ξ и xm — нули эллиптической функции. ζn определена для всех n в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем

\zeta_1=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}
\zeta_2=\frac{2}{(1+t)\sqrt{1+\epsilon^2}+\sqrt{(1-t)^2+\epsilon^2(1+t)^2}}

где

t=\frac{1}{\sqrt{1-1/\xi^2}}

рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для ζn:

\zeta_{m\cdot n}(\xi,\epsilon)= \zeta_m\left(\xi,\sqrt{\frac{1}{\zeta_n^2(L_m,\epsilon)}-1}\right)

где Lm = Rm(ξ,ξ).

Эллиптические фильтры с минимальной добротностью

См. [2] Эллиптические фильтры обычно определяются путём задания определённой величины пульсаций в полосе пропускания, полосе подавления и крутизной амплитудной характеристики. Эти характеристики являются определяющими для задания минимального порядка фильтра. Другой подход к проектирования эллиптического фильтра заключается в определении чувствительности амплитудной характеристики аналогового фильтра к значениям его электронных компонент. Эта чувствительность обратно пропорциональна специальному показателю (добротности) полюсов передаточной функции фильтра. Добротностью полюса определяется как:

Q =-\frac{|s_{pm}|}{2\mathrm{Re} (s_{pm})} = -\frac{1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}

и является мерой влияния данного полюса на общую амплитудную характеристику. Для эллиптического фильтра заданного порядка существует связь между показателем пульсаций и фактором селективности, который минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции:

\epsilon_{Qmin}=\frac{1}{\sqrt{L_n(\xi)}}

Это приводит к существованию фильтра наименее чувствительному к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически также, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от фильтра Баттерворта, полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров с одинаковым количеством коэффициентов:

Как следует из графика эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает и значительными пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.

См. также


Библиография

  • В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
  • Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
  • Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. ISBN 0201361302
  • Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. ISBN 0070153086
  • Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0966017641
  • Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. ISBN 0070540047
  • B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. ISBN 0130040290
  • S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. ISBN 0130901261
  • Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. ISBN 0898381630
  • J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. ISBN 0387075631
  • L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. ISBN 0132136031
  • Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. ISBN 013212887X
  • A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. ISBN 0132146355
  • L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. ISBN 0139141014
  • John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. ISBN 002396815x

Примечания

  1. Miroslav D. Lutovac § 12.8 // Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©.
  2. Miroslav D. Lutovac § 12.11, § 13.14 // Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©.

Ссылки

Математический Портал — мир цифр на страницах Википедии.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home