Свёртка тензора

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности (m,n) в тензор валентности (m − 1,n − 1). В координатах она записывается следующим образом:

{T_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n} \rightarrow {T_{j_1, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, i_n} = {T_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}}^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным индексам.

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров. Например, A^i_j B^j_k есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B (то есть \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}).

В случае евклидова пространства в ортогональной системе отнесения разница между ко- и контравариантными компонентами тензоров исчезает, и свёртку можно вести по любым двум индексам. Тем не менее, при работе в криволинейных или косоугольных координатах свёртка вновь определяется только в случае, если один из индексов суммирования верхний, а другой нижний. В метрических пространствах ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга, поэтому при использовании метрического тензора свёртку можно вести также по любой паре индексов.

Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home